CINÉTICA DE PARTÍCULAS: MÉTODOS DE LA
ENERGÍA Y DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Considérese una partícula que
se mueve de un punto A a un punto A´
cercano, el vector que une a A y A´ puede denotarse mediante la diferencial que dx, el vector dx denomina el
desplazamiento de la partícula.
Supóngase que una fuerza F actúa
sobre la partícula, el trabajo de esa fuerza corresponde al desplazamiento dx se define como la cantidad.
du=F.dx
Obtenida al formar el producto
escalar la fuerza F y el desplazamiento
dx.
Las magnitudes y el desplazamiento,
y mediante el ángulo α formado por F y dx.
du=F. ds cos α
También es posible determinar
el trabajo en componentes rectangulares
dU=𝐹𝑥dx+ 𝐹ydy+ 𝐹zdz
Al ser una cantidad escalar,
el trabajo tiene magnitud y signo, pero no dirección. También se vio que el
trabajo debe expresarse en unidades que se obtienen al multiplicar unidades de
longitud por unidades de fuerza. Así, si se recurre a las unidades de uso común
en Estados Unidos, el trabajo debe expresarse en ft . lb o in.
lb. Si se emplean unidades del SI, el trabajo se expresará en N . m. La unidad de trabajo N . m se denomina
como joule (J).
1 ft . lb =(1 . ft)(1. lb) = (0.3048 m)(4.448 N) =
1.356 J
El trabajo dU es positivo si
el ángulo α es agudo y negativo si α es
obtuso.
Si la fuerza tiene la misma
dirección que dx el trabajo dU se reduce a Fds. Si F tiene dirección opuesta a la de
dr, el trabajo es dU =Fds. Si F es perpendicular a dr, el trabajo dU es cero.
U
Para el trabajo elemental dU y
observar que F cos α representa la componente tangencial Ft de la fuerza, es
posible expresar el trabajo U
como
U
Donde la variable de integración s mide
la distancia recorrida por la partícula a lo largo de la trayectoria.
Cuando la fuerza F se define por medio de
sus componentes rectangulares, puede utilizarse para el trabajo
elemental. En ese caso se escribe
U
Donde la integración se va a realizar a
lo largo de la trayectoria descrita por la partícula.
Trabajo de una
fuerza constante en movimiento rectilíneo.
Cuando una partícula que se mueve en una
línea recta se somete a una fuerza F de
magnitud constante y dirección constante
produce
U
Donde α = ángulo que forma la fuerza con la dirección de movimiento
desplazamiento
de A1 a A2.
Trabajo
realizado por la fuerza de la gravedad.
El trabajo del peso W de un cuerpo, esto es, de la fuerza
que la gravedad ejerce sobre ese cuerpo, se obtiene al sustituir las
componentes de W, al elegir el eje y hacia arriba, se tiene
, y se escribe
dU= -w
U
Wy1
Wy2
U
= -W (y1- y2)=
W
Donde
es el desplazamiento vertical de A1 a A2. En
consecuencia, el trabajo del peso W es
igual al producto de W y el
desplazamiento vertical del centro de gravedad del cuerpo. Él trabajo es
positivo cuando el cuerpo se mueve hacia abajo.
Trabajo
realizado por la fuerza que ejerce un resorte o muelle.
La evidencia experimental muestra que la
magnitud de la fuerza F ejercida
por el resorte sobre un cuerpo A(es la
media de la deformación total del resorte) es proporcional a la
deformación x del resorte
medida a partir de la posición A0(es
la posición del resorte sin estirar). Se tiene
F=kx
Donde k es la constante del
resorte, expresada en N/m o kN/m si se san unidades del SI y en lb/ft o
lb/in.
dU=
F
=
U
Si se utilizan unidades
de uso común en Estados Unidos, k debe
expresarse en lb/ft y x en
pies, o k en lb/in. y x en pulgadas; en el primer caso, el trabajo se obtiene
en ft . lb, en el segundo, en in.lb.
Adviértase que el
trabajo de la fuerza F ejercida
por el resorte sobre el cuerpo es positivo
cuando x2 ˂ x1, esto es, cuando el
resorte está regresando a la
posición no deformada.
Trabajo realizado por
una fuerza gravitacional.
Dos partículas de masa m1 y m2 a una distancia r una
de la otra se atraen entre sí con fuerzas iguales y opuestas F y
F, dirigidas
a lo largo de la línea que une a las partículas y de magnitud
Suponga que la partícula M ocupa una posición fija O mientras la partícula m se mueve a lo largo de la
trayectoria bajo de la fuerza F ejercida
sobre la partícula m durante un
desplazamiento infinitesimal de la partícula de A a A‘puede
obtenerse al multiplicar la magnitud F
de la fuerza por la componente radial
del desplazamiento.
Puesto que F está dirigida hacia O,
el trabajo es negativo y se escribe
Fuerzas que se encuentran con frecuencia
en problemas de cinética no realizan
trabajo. Se trata de fuerzas
aplicadas en puntos fijos (ds = 0) o actuando en una dirección perpendicular al
desplazamiento (cos α= 0) .
Entre las
fuerzas que no realizan trabajo se encuentran las siguientes: la reacción en un
pasador sin fricción cuando el cuerpo que se soporta gira alrededor del
pasador, la reacción en una superficie sin fricción cuando el cuerpo en
contacto se mueve a lo largo de la superficie, la reacción en un rodillo que se
desplaza a lo largo de su pista y el peso de un cuerpo cuando el centro de
gravedad se mueve en forma horizontal.
Principio del
trabajo y la energía
La energía
cinética de una partícula representa también la capacidad para realizar trabajo
asociado con la velocidad de la partícula.
La energía
cinética se mide en las mismas unidades que el trabajo, esto es, en joules si
se usan unidades del SI y en ft. lb si se emplean unidades de uso común en
Estados Unidos.
La aplicación
dichos principios simplifica la solución de muchos problemas que implican fuerzas,
por ejemplo: el péndulo OA compuesto por una plomada A de peso W unida a una
cuerda de longitud L el péndulo se suelta sin velocidad inicial desde una
posición horizontal OA1 y se deja que oscile en un plano vertical.
Se desea
determinar la rapidez de la plomada cuando pasa por A2, directamente abajo de
O.
Se determina
el trabajo realizado durante el desplazamiento desde A1 hasta A2 por las
fuerzas que actúan sobre la plomada. Se dibuja un diagrama de cuerpo libre de
esta última, indicando todas las fuerzas reales que actúan sobre ella, esto es,
el peso W y la fuerza P ejercida por la cuerda.
La fuerza P no
realiza trabajo, ya que es normal a la trayectoria; la única fuerza que efectúa
trabajo es consecuentemente el peso W. El trabajo de W se obtiene al
multiplicar su magnitud W por el desplazamiento vertical l, (como el
desplazamiento es hacia abajo el trabajo es positivo).
Potencia y
eficiencia
La potencia se
define como la tasa en el tiempo a la cual se efectúa el trabajo. En la
selección de un motor o máquina, la potencia es un criterio mucho más
importante que la cantidad real de trabajo que se lleva a cabo. Es posible
utilizar un motor pequeño o una gran planta eléctrica para realizar una
cantidad determinada de trabajo; sin embargo, el motor pequeño quizá requiera
un mes para efectuar el trabajo que la planta eléctrica realizaría en unos
cuantos minutos.
Si
U es el
trabajo realizado durante el intervalo
t, entonces la
potencia promedio durante ese intervalo es
Al dejar que
t tienda a
cero, se obtiene en el límite
Como du/dt
representa la velocidad v del punto de aplicación de F (tenemos que)
La potencia
debe expresarse en J/s; esta unidad se conoce como watt (W).
1 W =1 J/s =1 N . m/s
CONCLUSIÓN
La mayor parte de los
problemas relacionados con el movimiento de partículas se resolvieron mediante
el uso de la ecuación fundamental del movimiento F=ma. Dada una partícula sobre la
que se ejerce una fuerza F, se
podría resolver esta ecuación para la aceleración a; luego, aplicando los principios de la cinemática sería posible
determinar a partir de a la
velocidad y la posición de la partícula en cualquier tiempo. El uso de la
ecuación F=ma junto
con los principios de la cinemática permiten obtener dos métodos de análisis
adicionales, el método del trabajo y la energía y el método del impulso y la
cantidad de movimiento.
El método del trabajo y la
energía relaciona directamente la fuerza, la masa, la velocidad y el
desplazamiento, en tanto que el método del impulso y la cantidad de movimiento
relaciona la fuerza, la masa, la velocidad y el tiempo.
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